2003年高考数学2007年山西高考数学
2007年山西高考数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分. 第I卷1至2页. 第II卷3至4页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准
考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3.本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
球的表面积公式
P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) S=4πR2 如果事件A、B相互独立，那么
P ( A · B ) = P ( A ) · P ( B ) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
其中R表示球的半径 球的体积公式
V=
43
3
πR
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
Pn(k)=CnP(1-P)
k
k
n-k
其中R表示球的半径
(k=0,1,2,?,n)
一、选择题
(1)α是第四象限角，tanα=-
(A)
15
512
,则sinα=
(B)-a1+i
+
1
(2)设a是实数，且
(A)
12
51+i2
(C)
513
(D)-
513
是实数，则a=
(C)
32
(B)1 (D)2
(3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5)，则a与b
(A)垂直 (B)不垂直也不平行 (C)平行且同向 (D)平行且反向
(4)已知双曲线的离心率为2，焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为
(A)(C)
x
2
4x
2
-
y
2
12y
2
=1 =1
ba
(B)(D)
x
2
12
-
y
2
4
=1
2
10
-
x
2
6
6
-
y
10
=1
(5)设a,b∈R，集合{1,a+b,a}={0,
(A)1
(B)-1
,b},则b-a=
(C)2
22
(D)-2 ，且位于??
x+y-1<0,
(6)下面给出的四个点中，到直线x-y+1=0的距离为
示的平面区域内的点是
表
?x-y+1>0,
(A)(1,1) (B)(-1,1) (C)(-1,-1) (D)(1,-1)
(7)如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角
的余弦值为
D1C (A)1
1
5
(B)2
5
A1B1
(C)3
5
C
B
(D)4
5
A(8)设a>1，函数f(x)=log
(A)2
a
x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为
12
，则a=
(B)2 (C)22 (D)4
(9)f(x),g(x)是定义在R上的函数，h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函
数”是“h(x)为偶函数”的
(A)充要条件
1x
(B)充分而不必要的条件 (D)既不充分也不必要的条件
(C)必要而不充分的条件
2
n
(10)(x-
)的展开式中，常数项为15，则n=
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
(11)抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l,经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴
上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是
(A)4
(B)33
x2
(C)43 (D)8
(12)函数f(x)=cos2x-2cos2
的一个单调增区间是
(A)(
π3
,
2π3
) (B)(
ππ6,2
) (C)(0,
π3
) (D)(-
ππ6,6
)
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第Ⅱ卷
注意事项： 1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考
证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.第II卷共2页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，在试题卷上作答无效.
3.本卷共10题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在横线上.
(13)从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委
员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种. (用数字作答) (14)函数y=f(x)的图像与函数y=log3x(x>0)的图像关于直线y=x对称，则 f(x)=(15)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为 .
(16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上. 已知正三棱柱的
底面边长为2，则该三角形的斜边长为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA. (Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.
(18)(本小题满分12分)
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元;分2期或3期付款，其利润为250元;分4期或5期付款，其利润为300元. η表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 P(A);
(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.
(19)(本小题满分12分)
四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知 ∠ABC = 45°AB=2，BC=22，SA=SB =3. (Ⅰ)证明SA⊥BC;
(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小.
(20)(本小题满分12分)
设函数f(x)=ex-e-x.
(Ⅰ)证明：f(x)的导数f'(x)≥2;
S
C
D
B
A
(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
已知椭圆
x
2
3
+
y
2
2
=1的左、右焦点分别为F1、F2.过F1的直线交椭圆于B、D两
点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P.
(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0)，证明：(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.
(22)(本小题满分12分)
已知数列{an}中a1=2,an+1=(2-1)(an+2),n=1,2,3, . (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}中b1=2,bn+1=
3bn+42bn+3
,n=1,2,3, ，证明： x03
2
+
y02
2
<1;
2<bn≤a4n-3,n=1,2,3, .
(在试题卷上作答无效)
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题(必修+选修I)参考答案
一、选择题
(1)D (2)B (3)A (4)A (5)C (6)C (10)D (11)C (12)A 二、填空题
(13)36 (14)3x(x∈R) (15)
13
(16)23三、解答题 (17)解：
(I)由a=2bsinA，根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA， 所以 sinB=
12
，
由△ABC为锐角的三角形得B=
π6
.
(II)cosA+sinC=cosA+sin(π-
π6
-A)
=cosA+sin(π
6
+A)
=cosA+1cosA=
32
2sinA
=
3sin(A+
π
3
).
由△ABC为锐角的三角形知， πππ-B=ππ2>A>
2-B,
22
-
6
=
π3
，
所以，
2π3
<A+
π3
<5π6
，
1<sin(A+
π
)<
32
3
2
，
7)D (8)D 9)B ( (
由此有;32;<3sin(A+;)<;32;?3，;所以，cosA+sinC的取值范围为(;33;,).22;(18)解：;(I)由A表示事件：“购买该商品的3位顾客中至少;P(A)=(1-0.4)=0.216,;P(A)=1-P(A)=1-0.216=0.78;(II)η的可能取值为200元，250元，300;P(η=250)=P(ξ=2)+P
由此有
32
<3sin(A+
π
3
)<
32
?3，
所以，cosA+sinC的取值范围为(
33
,). 22
(18)解：
(I)由A表示事件：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”， 知A表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.
P(A)=(1-0.4)=0.216,
P(A)=1-P(A)=1-0.216=0.784;
3
(II)η的可能取值为200元，250元，300元. P(η=200)=P(ξ=1)=0.4，
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4，
P(η=300)=1-P(η=200)-P(η=250)=1-0.4-0.4=0.2. η的分布列为
η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2
Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2
=240(元).
19.解法一： (I)作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC.
(II)由(I)知SA⊥BC，依题设AD∥BC，
故SA⊥AD，由AD=BC=22，SA=3，AO=2，得 SO=1，SD=
.
△SAB的面积S1=
12
AB?SA-(
2
12
AB)
2
=2.
连结AB，得△DAB的面积S2=
12
AB?ADsin35?=2.
设D到平面SAB的距离为h，由VD-SAB=VS-ABD，得
13
h?S1=
13
SO?S2，
解得h=2.
设SD与平面SAB所成角为α，则sinα=
hSD
=
222
=
2211
.
所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin
11
.
解法二： (I)作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO.
又∠ABC=45?，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB.
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz， A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，-2，0)，S(0，0，1)，
，CB=(0，22，
SA=(2，0，-1)所以SA⊥BC.
(Ⅱ)取AB中点E，E(
22
,
22
,0). ,连结SE，取SE中点G，连结OG，G(442
24
2122
,),SE=(,,-1),AB=(-2,4222
2
OG=(,2,0).
SE?OG=0,AB?OG=0，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直，
所以OG⊥平面SAB. 与β互余.
OG
与DS的夹角记为α,SD与平面SAB所成的角记为β，则α
D(2,-22,0),ds=(-2,22,1),cosα=
=
2211
,sinβ=
2211
,
所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin(20)解：(Ⅰ)f(x)的导数f'(x)=ex+e-x，
由于e+e
x
-x
2211
.
>2e?e
x-x
=2-2，故f'(x)≥2,
(当且仅当x=0时，等号成立.)
(II)令g(x)=f(x)-ax,则
g'(x)=f'(x)-a=ex+e-x-a.
(i)若a≤2，当x>0时，g'(x)=ex+e-x-a>2-a≥0, 故g(x)在(0,+∞)上为增函数.
所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax.
a+
a-42
2
(ii)若a>2，方程g'(x)=0的正根为x1=ln
，
此时，若x∈(0,x1)时，g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾. 综上，满足条件的a的取值范围是(-∞,2].
(21)证明：
(Ⅰ)椭圆的半焦距c=
3-2=1.
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上， 故 x0+y0=1，
x03
2
2
2
所以， +
y02
2
≤
x02
2
+
y02
2
=
12
<1.
(Ⅱ)(i)当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程
x
2
3
+
y
2
2
=1，并化简得 (3k
+2)x+6kx+3k
2222
-6=0
设B(x1,y1),D(x2,y2)，则
6k3k
2
2
x1+x2=
+2
2
，x1x2=
3k3k
22
-6+2
2
|BD|=
+k?|x1-x2|=(1+k)+[(x1+x2)-4x1x2]=
2
43(k3k
2
2
+1)
+2
因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为 -
43(
1k1
22
1k
，
+1)
=+2
所以， |AC|=
3?
43(k2k
2
2
+1)
+3
k
四边形ABCD的面积
S=
12
?|BD|?|AC|=
24(k(3k
2
2
+1)
2
2
+2)(2k+3)
≥?(3k??
2
24(k
2
+1)
2
2
=
9625
+2)+(2k
2
2
+3)?
??
当k2=1时，上式取等号。
(ii)当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4. 综上，四边形ABCD的面积的最小值为
(22)解：(Ⅰ)由题设：
an+1=1)(an+
2) =1)(an-=1)(an-an+1-
+1)(2+
+
.
1的等比数列，
9625
.
=-1)(an-
所以，数列an-
an-
=
{
是首项为2-
n
1)，
n
1)+1?，n=1，2，3，…. ?
即a
n的通项公式为an=(Ⅱ)用数学归纳法证明.
(ⅰ)当n=
1<2，b1=a1=2，所以
<b1≤a1，结论成立.
(ⅱ)假设当n=
k<bk≤a4k-3，
也即0<bk-
当n=k+1时，
bk+1-
2=
3bk+42bk+3
-
2
a4k-3-
.
=
(3-22)bk+(4-22)
2bk+3
(3-22)(bk-
2bk+3
2)
>0.
=
12bk+3
122+3
又
<=3-23
，
2)
所以 bk+1-
2=
(3-22)(bk-
2bk+3
2
<(3-22)(bk-≤(2-1)(a4k-3-=a4k+1-
2,
4
2)2)
也就是说，当n=k+1时，结论成立.
根据(i)和(ii)知2≤bn≤a4n-3,n=1,2,3, .
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